Другие изобретения
на букву "Х"

Характеристическая функция (теорема)

Характеристическая функция (теорема)

Дата изобретения: 1901 г.

Разработчик:
Ляпунов Александр Михайлович

Краткая информация:

Характеристическая функция множества А (в современной терминологии - индикатор А) - функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и принимающая значение f (x) = 1, если x принадлежит множеству А, и значение f (x) = 0, если x не принадлежит ему.

главная / Изобретения России / Характеристическая функция (теорема)

Характеристическая функция (теорема)

Дата изобретения: 1901 г.


Разработчик: Ляпунов Александр Михайлович

Описание:

       Характеристическая функция множества А (в современной терминологии - индикатор А) - функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и принимающая значение f (x) = 1, если x принадлежит множеству А, и значение f (x) = 0, если x не принадлежит ему.

       В теории вероятностей характеристическая функция fX (t) случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины eitX. Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятности pX (x), приводит к формуле

 

      

 

      Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, характеристическая функция равна

 

      

 

       Свойства характеристической функции: каждой случайной величине Х соответствует определённая характеристическая функция fX (t); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по fX (t); при сложении независимых случайных величин соответствующие характеристическая функции перемножаются; при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют характеристической функции, мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким характеристической функции соответствуют случайные величины с близкими распределениями.

       Указанные свойства лежат в основе применений характеристической функции, в частности к выводу предельных теорем теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный характеристической функции, был использован П. Лапласом (1812), но вся сила метода характеристической функции была показана А. М. Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему.

       Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону. Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин.

       При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым и составляют содержание теоремы, названной его именем.